Ühistegur

Tere!

Eelmise ülesande lahenduse leiate kommentaaridest.

Seekord vaatame arvuteooria poole ja uurime suurima ühisteguri omadusi. Ülesannetes tuleb abiks järgmine väide: iga kahe täisarvu $a$ ja $b$ suurim ühistegur võrdub arvude $a$ ja $a+b$ suurima ühisteguriga. Väide kehtib ka, kui liitmine asendada lahutamisega. Allpool on sellele väike tõestus.

Kui arv $c$ jagab arve $a$ ja $b$, siis jagab ta ka arvu $a+b$. Kui arv $c$ jagab arve $a$ ja $a+b$, siis jagab ta ka arvu $-a$ ning eelmise väite põhjal ka arvu $-a + (a+b) = b$. Sellest järeldub, et iga kahe täisarvu $a$ ja $b$ ühistegur on ka arvude $a$ ja $a+b$ ühistegur.

Nüüd ülesannete juurde:
1. Näita, et iga täisarvulise $n$ korral on arvude $21n+4$ ja $14n+3$ suurim ühistegur üks.

2. Näita, et iga positiivse täisarvu $n$ korral on murd $\frac{10n+1}{4n+2}$ taandamatu.

Kui tekib mingeid küsimusi, kas selle komplekti või üldse matemaatika kohta, kirjutage kommentaaridesse või meilile ratsionaal ät gmail punkt com.

Segamahl

Tere taas!

Tänase küsimuse üle tasub arutleda koduse kokaga - ta oskab ehk vastata kogemusest!

Nimelt, on küsimus seekord üsna eluline:

Meil on kaks kannu mahla, ühes liiter ploomimahla ja teises liiter apelsinimahla. Võtame apelsinimahla kannust klaasitäie mahla ja valame selle ploomimahla hulka. Segame. Siis võtame sama suure klaasitäie segatud mahla ja valame tagasi apelsinimahla kannu. Mõlemas kannus on nüüd liiter mahla.

Aga jääb küsimus - kummas kannus on rohkem võõrast mahla?

PS! Vihjeid geomeetriaprobleemide lahendamiseks leiate taaskord eelmise postituse kommentaaride alt.

Natuke geomeetriast

Tere!

Eelmise nädala ülesannete lahendused ja lahendusvihjed on vastava postituse kommentaarides. Kui on mingeid küsimusi, võib alati kommentaaridesse kirjutada.

Selle nädala ülesanded keskenduvad geomeetriale. Esimesed kaks on lihtsamad, kolmas on raskem. Kolmas ülesanne on võetud raamatust I. Šarõgin "Tasandi geomeetria", mis on suurepärane raamat neile, kes soovivad olümpiaadigeomeetriaks harjutada. Hea oleks sealt algusest pihta hakata ja ülesanded, mis on märgitud tähega "R" (raske), ära lahendada - need on just sellised, mis vajavad rohkem nuputamist kui arvutamist.

Nüüd aga selle korra ülesanded:

1. Ringjoonel on valitud kaks punkti $P$ ja $Q$, mis pole diameetri otspunktideks. Tõesta, et ringjoone keskpunktist tõmmatud lõiguga $PQ$ risti olev sirge poolitab kaare $PQ$.

2. Olgu $ABC$ täisnurkne kolmnurk täisnurgaga $C$. Olgu $C'$ punkti $C$ projektsioon küljele $AB$. Tõesta, et $|AC'| \cdot |BC'| = |CC'|^2$.

3. (Šarõgin, kordamisülesanded, R 31, lk 202)
Ringjoone diameetri $AB$ otspunktidesse on tõmmatud puutujad $a$ ja $b$. Olgu iga $A$-st ja $B$-st erineva ringjoone punkti $L$ korral sellest punktist tõmmatud puutuja lõikepunktid sirgetega $a$ ja $b$ vastavalt $K$ ja $M$. Tõesta, et iga punkti $L$ korral on korrutise $|AK| \cdot |BM|$ väärtus sama.

Kommenteerige julgesti, kui ülesannete kohta küsimusi tekib või mõne huvitava lahenduse leiate. Igasugune tagasiside on väga oodatud!

Tere, sügis!

Tere!

Ka see aasta tahame pakkuda matemaatilist lõbustust ja proovime jälle pisut teisiti. Paneme seekord ajaveebi lihtsalt erinevaid ülesandeid, vahel ühekaupa, vahel mitmekaupa. Umbes korra nädalas. Ja nii nädala möödudes lisame ka lahendused. Üritame pakkuda erineva raskustaseme ja sisuga ülesandeid, enamik tuleb küll olümpiaadimaitsega, aga vahel on ka niisama mõtisklemist.

Tore oleks, kui kaasa lööks ka lugeja - ütle meile kommentaarides, kas ülesanded tunduvad lõbusad, lihtsad või liiga rasked ja nii edasi. Ja muidugi kui on toredaid ülesandeid, kirjuta meile ratsionaal@gmail.com

Täna lähevad üles kolm lihtsamat ülesannet 1945. aasta Moskva olümpiaadilt. Tore selle olümpiaadi juures on asjaolu, et žürii esimeheks oli tookord I.M Gelfand. Tegemist on väga kuulsa ja mõjusa matemaatikuga, kelle uurimishuvid ei piirdunud sugugi ainult matemaatikaga - ta on panustanud ka füüsikasse, bioloogiasse ja isegi meditsiinivaldkonda. Lisaks oli ta suure südamega õpetamise ja juhendamise juures.

Ülesanded:

1. Olgu n positiive täisarv. Tõesta, et
$$\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}+...\frac{1}{2n} > \frac{1}{2}$$

2. Kolmnurgas ABC on tõmmatud tippe ja nende vastaskülgi ühendavad lõigud $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$. Kas ja millal saavad nende lõikude keskpunktid asuda ühel sirgel?

3. Leia kõik täisarvulised lahendid võrrandile
$$xy + 3x - 5y = -3$$

Head nuputamist, ära unusta kommenteerida ning vahvat kooliaasta algust!