laupäev, 15. november 2014

Veidi geomeetriat ja kombinatoorikat

Tere taaskord!

Seekord siis sellised ülesanded. Vihjeks ütleme, et tihti võib lahendus olla lihtsam, kui esmapilgul tundub, seega proovige julgelt!

1. Tenniseturniiril osaleb \(2014\) tennisisti. Igas voorus loositakse võistlejad paaridesse ning iga paari võitja saab edasi järgmisesse ringi (kui enne mingit vooru on paaritu arv tennisiste konkurentsi jäänud, siis üks neist saab vaba päeva ja pääseb automaatselt järgmisesse ringi). Siis toimub allesjäänud võistlejatega sama protseduur: võistlejad loositakse paaridesse ja iga paari võitja pääseb edasi, kaotajate jaoks saab turniir läbi. Sedasi jätkatakse, kuni selgub võtja. Kui palju mänge toimub kokku?

2. Tasandil on antud \(2014\) punkti nii, et kui valida neist mistahes \(3\), siis nende kolme punkti poolt moodustatud kolmnurga pindala on mitte suurem kui \(1\). Tõesta, et sel tasandil leidub kolmnurk, mille pindala on mitte suurem kui \(4\) ja kõik need \(2014\) punkti asuvad selle kolmnurga sees.

Nagu ikka, kui küsimusi tekib, siis kirjutage kommentaaridesse või meilile ratsionaal ät gmail punkt com.

Jõudu lahendamisel!

2 kommentaari:

Kell 24. november 2014 17:02, Blogger Sõber Matemaatik ütles ...

Lahendusvihjed:

1. Igas mängus on täpselt üks kaotaja ja peale turniiri võitja kaotab iga võistleja täpselt ühe mängu.

2. Vali kõigi kolmnurkade seast välja kõige suurema pindalaga kolmnurk. Tõmba läbi tippude sirged, mis on vastaskülgedega paralleelsed. Nende kolme sirge lõikepunktid moodustavad uue kolmnurga, mis on \(4\) korda suurema pindalaga ja nüüd piisab näidata, et kõik ülejäänud \(2011\) punkti peavad asuma selle suurema kolmnurga sees. Miks see nii on?

 
Kell 7. detsember 2014 21:55, Blogger Sõber Matemaatik ütles ...

Autor on selle kommentaari eemaldanud.

 

Postita kommentaar

Tellimine: Postituse kommentaarid [Atom]

<< Avaleht