Ühistegur

Tere!

Eelmise ülesande lahenduse leiate kommentaaridest.

Seekord vaatame arvuteooria poole ja uurime suurima ühisteguri omadusi. Ülesannetes tuleb abiks järgmine väide: iga kahe täisarvu $a$ ja $b$ suurim ühistegur võrdub arvude $a$ ja $a+b$ suurima ühisteguriga. Väide kehtib ka, kui liitmine asendada lahutamisega. Allpool on sellele väike tõestus.

Kui arv $c$ jagab arve $a$ ja $b$, siis jagab ta ka arvu $a+b$. Kui arv $c$ jagab arve $a$ ja $a+b$, siis jagab ta ka arvu $-a$ ning eelmise väite põhjal ka arvu $-a + (a+b) = b$. Sellest järeldub, et iga kahe täisarvu $a$ ja $b$ ühistegur on ka arvude $a$ ja $a+b$ ühistegur.

Nüüd ülesannete juurde:
1. Näita, et iga täisarvulise $n$ korral on arvude $21n+4$ ja $14n+3$ suurim ühistegur üks.

2. Näita, et iga positiivse täisarvu $n$ korral on murd $\frac{10n+1}{4n+2}$ taandamatu.

Kui tekib mingeid küsimusi, kas selle komplekti või üldse matemaatika kohta, kirjutage kommentaaridesse või meilile ratsionaal ät gmail punkt com.