Neljapäev, 22. jaanuar 2015

Talveuni

Lugeja on ehk märganud, et juba mitu nädalat pole ajaveebi uusi ülesandeid tekkinud. Sellega peab nüüd mõneks ajaks harjuma! Nimelt jääb ratsionaali ajaveeb vähemalt aprillini talveunne. Ehk küll vahepeal läheb jälle uni ära ja tärkab mõni uus ülesanne, aga kindlasti mitte piisavalt tihedalt, et kõige usinamaid töös hoida.

Usinatele soovitame igavuse peletamiseks järgmist lehte: www.mathlinks.ro....ja tegelikult ka vähem usinatele. Lisaks sellele, et seal lehel on keegi igapäevaselt ühe ülesande välja valinud, pannakse sinna välja pea kõikide üle ilma toimuvate olümpiaadide ülesandeid ning arutatakse foorumis üheskoos nende lahendusi. Lööge kaasa!

Ilusat talve ja varakevadet!

Laupäev, 3. jaanuar 2015

Külalispostitus 2: mõtisklused ühest lahtise võistluse ülesandest

Tere ja head uut aastat!

Tervitame teid ühe lahendusmõtisklusega. Nimelt ka talvisel lahtisel võistlusel ei saadud veel edukalt jagu vanema rühma funktsionaalvõrrandist ja nii võttis üks usin lahendajatest (kommentaariumis Matemaatika S6ber) ülesande jälle käsile- eks ikka, et selgitada, miks selles ülesandes siiski midagi ülemäära keerulist pole.

Juttu tuleb vanema rühma neljandast ülesandest. Ülesande sõnastuse ja originaallahenduse leiate siit.

V4: Leia kõik sellised funktsioonid f, mis on määratud kõigi reaalarvude hulgal, omandavad reaalarvulisi väärtusi ning rahuldavad mistahes reaalarvude x, y korral tingimust 
\[f(x^2) + f(xy) = f(f(x+y))\]


Nagu juba eelmises postituses (vt allpool, esimene külalispostitus) mainitud, on funktsionaalvõrrandi näol tegu olukorraga kus x ja y on sõbrad. Eesmärk on leida kõik funktsioonid, mis rahuldavad antud võrrandit iga x ja y väärtuse korral ja seega saame alati, kui valime x-le ja y-le mingid väärtused, ühe kitsama tingimuse, mida meie funktsioon kindlasti täitma peab. 
Kuidas valida x,y väärtuseid? Ikka nii, et jääks alles midagi lihtsat. Kõige paremini lihtsustub liitmine-lahutamine siis, kui valime väärtuse 0, korrutamine-liitmine siis, kui valime väärtused +-1. Tihti on kasulik kasutada ka pöörd-ja vastandarve, näiteks x = 1/y, sest siis tuleb korrutise xy asemele 1. Ja egas midagi, hakkame mängima. Võrrandi vasakul pool on mängus korrutamine, paremal liitmine. Proovime järjest läbi nii 0/1 kui ka pöörd- ja vastandväärtused. Kõik need seosed peavad kehtima suvalise x või y korral.

1) x=y=0, järeldub f(0) + f(0) = f(f(0)) 
2) x = 0, järeldub f(0) + f(0) = f(f(y))
3) y = 0, järeldub f(x^2) + f(0) = f(f(x))
4) x = y = 1, saame f(1) + f(1) = f(f(2))
5) x = 1, järeldub  f(1) + f(y) = f(f(y+1))
6) y = 1, järeldub f(x^2) + f(x) = f(f(x+1))
7) y = -x, saame f(x^2) + f(-x^2) = f(f(0))
8) y = 1/x, järeldub f(x^2) + f(1) = f(f(x + 1/x))

Nii, on mängitud juba kyll, ja paljutki leitud. Hakkame otsast vaatama, mis need võrrandid ütlevad.

Seoses 2) ei ole me y kohta veel midagi öelnud, seega kehtib võrrand iga y jaoks. Vasak pool on aga konstantne, üks kindel arv 2f(0). Seega on meil väga tugev tingimus - kui rakendada funktsiooni kaks korda järjest, on tulemus alati sama. 

Kombineerides 2) ja 3) saame, et f(f(x)) = 2f(0) = f(x^2) + f(0), seega f(x^2) = f(0), ehk f(x) on konstantselt f(0) kui x >= 0.
4) pole enam nii p6nev - siin on konkreetsed väärtused 1 ja 2, aga meil on juba päris üldine tulemus olemas ja teame et f(1) = f(2) = f(0). 

Võime võrrandis 5) valida y' = y+1 ja saame f(1) + f(y'-1) = f(f(y')). Kuna y' tähitsab lihtsalt suvalist arvu, saame uuesit kasutada tingimust 2) ning leiame, et f(y-1) = 2f(0) - f(1) = f(0). Siin pole y-l enam piirangut, seega f(y) = f(0) iga y jaoks. 

Jääb üle leida f(0). Kuna f(x) = f(0), saame n2iteks seosest 1), et f(0) + f(0) = f(0), ehk f(0) = 0. Kontroll näitab, et see funktsioon tõesti ka sobib.

...........

Lisame omalt poolt ka mõtisklemiseks ühe ülesande:

Leia kõik funktsioonid, mis on määratud kõigi reaalarvude korral, võtavad reaalarvulisi väärtuseid ning rahuldavad mistahes reaalarvude x,y korral järgmist tingimust:

\[f((x-y)^2) = f(x)^2 - 2xf(y) + y^2\]

Pühapäev, 21. detsember 2014

Head jõuluaega!


Jõuludeks anname mõtlemiseks ka kaks ülesannet:

1. Olgu \(a, b, c\) ja \(d\) positiivsed täisarvud, mille korral \(ab=cd\). Tõesta, et \(a^2+b^2+c^2+d^2\) ei ole algarv.

2. Olgu tahvlile kirjutatud täisarvud \(a, b, c, d\), mis ei ole kõik omavahel võrdsed. Igal sammul kustutatakse kõik arvud ja asemele kirjutatakse arvud \(a-b, b-c, c-d, d-a\). Tõesta, et pärast mingit sammu on vähemalt üks arv suurem kui \(2014\).

Olgu igaks juhuks öeldud, et teine ülesanne on üsna keeruline, aga ärge laske sellest ennast häirida. Proovida tasub kindlasti! Edu!

Soovime kõigile toredat jõuluaega!

Teisipäev, 9. detsember 2014

Arvuteooria

Veel veidi advendiharjutusi. Sedapuhku arvuteoreetilisi:

1. Tõesta, et kui \(n\) on nullist erinev täisarv, siis \(\sqrt{2}n\) ei ole täisarv.

2. Tõesta, et kui arvude \(1,2,3,4,...,2014\) seast valida mistahes \(1013\) arvu, siis nende valitud arvude seas leidub kaks sellist arvu \(a\) ja \(b\) nii, et \(a\) jagub \(b\)-ga või \(b\) jagub \(a\)-ga.

Kolmapäev, 26. november 2014

Raamatusoovitus

Tere!

Juba hakkab vaikselt hirmutama jõuluaeg, saab küsida ja teha kingitusi. Meie soovitame raamatut nimega "The mathematical olympiad handbook", autoriks A. Gardiner. Tegemist on toreda olümpiaadiraamatuga, kuna ülesandeid saab mingis mõttes ühes autoriga läbi lahendada - ta arutab, miks ta just nii lahendab nagu lahendab, ning jätab siia-sinna lünki ka lahendajale täitmiseks. Nii on ta eriti tore tükk algajamatele.

Ülesanded raamatus pärinevad Briti matemaatikaolümpiaadide esimeselt kolmekümne kahelt aastalt - 1965 - 1996 ning ülesannetele eelneb ka väikene kokkuvõtte matemaatilistest nippidest-trikkidest.

Valime sealt kaks juhuslikku ülesannet:

1. (BMO 1985) Olgu \(a,b,c\) kolm reaalarvu, mis asuvad nulli ja ühe vahel. Tõesta, et vähemalt üks avaldistest \(a(1-b)\), \(b(1-c)\) ning \(c(1-a)\) ei ole suurem kui \(\frac{1}{4}\).

2. (BMO 1996) Funktsioon \(f\) on defineeritud positiivsetel täisarvudel ning rahuldab järgmisi tingimusi:

A) \(f(1) = 1996 \)

B) iga \(n >1\) korral \(f(1) + f(2) + .. + f(n) = n^2f(n)\).

Leia \(f(1996)\) täpne väärtus.

Laupäev, 15. november 2014

Veidi geomeetriat ja kombinatoorikat

Tere taaskord!

Seekord siis sellised ülesanded. Vihjeks ütleme, et tihti võib lahendus olla lihtsam, kui esmapilgul tundub, seega proovige julgelt!

1. Tenniseturniiril osaleb \(2014\) tennisisti. Igas voorus loositakse võistlejad paaridesse ning iga paari võitja saab edasi järgmisesse ringi (kui enne mingit vooru on paaritu arv tennisiste konkurentsi jäänud, siis üks neist saab vaba päeva ja pääseb automaatselt järgmisesse ringi). Siis toimub allesjäänud võistlejatega sama protseduur: võistlejad loositakse paaridesse ja iga paari võitja pääseb edasi, kaotajate jaoks saab turniir läbi. Sedasi jätkatakse, kuni selgub võtja. Kui palju mänge toimub kokku?

2. Tasandil on antud \(2014\) punkti nii, et kui valida neist mistahes \(3\), siis nende kolme punkti poolt moodustatud kolmnurga pindala on mitte suurem kui \(1\). Tõesta, et sel tasandil leidub kolmnurk, mille pindala on mitte suurem kui \(4\) ja kõik need \(2014\) punkti asuvad selle kolmnurga sees.

Nagu ikka, kui küsimusi tekib, siis kirjutage kommentaaridesse või meilile ratsionaal ät gmail punkt com.

Jõudu lahendamisel!

Neljapäev, 6. november 2014

Geogebra

Seekord teeme reklaami!

Geomeetria juures on vähemalt alguses kõige olulisem teha ilus joonis. Nimelt on enamasti kõik vajalik enamasti juba joonisel kirjas ning kui ka pole, siis kõige lihtsam pole mitte arvutada, vaid juurde joonistada, siduda elemente geomeetriliselt.

Ja muidugi ennekõike on ilus joonis oluline, sest teda on ilus vaadata!

Aga vahel ei viisi ise joonistada...Mis siis teha?

Abiks on (reklaam reklaam) programm Geogebra, millele tuleb lihtsalt öelda - vaja ringi, kolmnurka, nende lõikepunkti ja ta paneb kõik täpselt paika. Mängige, tore on näha, kuidas alguses mitte-seotud punktid hakkavad järsku omavahel suhtlema.

Ilmselt saab Geogebrait isegi nutitelefonile laadida.

Mõned esimesed ilusad pildid, mida proovida:

1) Näita, et kolmnurga ABC ümberringjoone keskpunkt, kõrguste lõikepunkt ning mediaanide lõikepunkt asuvad ühel sirgel.

2 Näita, et kolmnurga kõrguste alusd ning külgede keskpunktid asuvad kõik ühel ringjoonel.

Mida veel jooniselt leiate?