teisipäev, 14. oktoober 2014

Kombinatoorika

Tere taaskord!

Täna pakume lahendamiseks kombinatoorika ülesandeid:

1. Ringjoonele on kirjutatud kellaosuti liikumise suunas arvud \(0, 1, 0, 0, 0, 0\). Igal sammul võib kaht kõrvuti olevat arvu ühe võrra suurendada. Kas on võimalik, et pärast lõpliku arvu samme on kõik kuus arvu võrdsed? Aga siis, kui ringjoonele on kirjutatud hoopis arvud \(0,1,0,1,0,0\)?

2. Tasandi kõik punktid on värvitud kas siniseks või punaseks. Tõesta, et leidub ristkülik, mille kõik tipud on sama värvi. Kas võib olla kindel, et leidub ristkülik, mille kõik tipud on punased? Mis juhtub siis, kui värvime punktid siniseks, punaseks ja roheliseks?

Jällegi, kui küsimusi tekib, siis kirjutage kommentaaridesse või meilile ratsionaal ät gmail punkt com.

Jõudu ja edu lahendamisel!

1 kommentaari:

Kell 21. oktoober 2014 18:22, Blogger Sõber Matemaatik ütles ...

Lahendusvihjed:

1. Pane tähele, et igal sammul suureneb arvude kogusumma kahe võrra, seega esimesel juhul on arvude kogusumma pärast iga sammu paaritu, aga võrdsete arvude korral oleks see summa paarisarv. Teisel juhul vaatleme avaldist \(a_1-a_2+a_3-a_4+a_5-a_6\), kus \(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5,a_6\) on mingil hetkel ringjoonel olevad arvud. Pane tähele, et see avaldis jääb pärast igat sammu muutumatuks. Teisel juhul on alguses selline avaldis võrdne karvuga \(-2\), aga võrdsete arvude korral oleks see \(0\).

2. Võta suvaline sirge tasandil ja vali seal kolm sama värvi punkti. Nüüd võtame neid kolme punkti läbivad sirged, mis on risti algse sirgega. Lahenduse lõpetuseks vali veel neli sirget, mis on algse sirgega parallelsed ja veendu, et tekkinud \(15\) lõikepunkti seas leidub sama värvi tippudega ristkülik.

 

Postita kommentaar

Tellimine: Postituse kommentaarid [Atom]

<< Avaleht