teisipäev, 16. september 2014

Natuke geomeetriast

Tere!

Eelmise nädala ülesannete lahendused ja lahendusvihjed on vastava postituse kommentaarides. Kui on mingeid küsimusi, võib alati kommentaaridesse kirjutada.

Selle nädala ülesanded keskenduvad geomeetriale. Esimesed kaks on lihtsamad, kolmas on raskem. Kolmas ülesanne on võetud raamatust I. Šarõgin "Tasandi geomeetria", mis on suurepärane raamat neile, kes soovivad olümpiaadigeomeetriaks harjutada. Hea oleks sealt algusest pihta hakata ja ülesanded, mis on märgitud tähega "R" (raske), ära lahendada - need on just sellised, mis vajavad rohkem nuputamist kui arvutamist.

Nüüd aga selle korra ülesanded:

1. Ringjoonel on valitud kaks punkti \(P\) ja \(Q\), mis pole diameetri otspunktideks. Tõesta, et ringjoone keskpunktist tõmmatud lõiguga \(PQ\) risti olev sirge poolitab kaare \(PQ\).

2. Olgu \(ABC\) täisnurkne kolmnurk täisnurgaga \(C\). Olgu \(C'\) punkti \(C\) projektsioon küljele \(AB\). Tõesta, et \(|AC'| \cdot |BC'| = |CC'|^2\).

3. (Šarõgin, kordamisülesanded, R 31, lk 202)
Ringjoone diameetri \(AB\) otspunktidesse on tõmmatud puutujad \(a\) ja \(b\). Olgu iga \(A\)-st ja \(B\)-st erineva ringjoone punkti \(L\) korral sellest punktist tõmmatud puutuja lõikepunktid sirgetega \(a\) ja \(b\) vastavalt \(K\) ja \(M\). Tõesta, et iga punkti \(L\) korral on korrutise \(|AK| \cdot |BM|\) väärtus sama.

Kommenteerige julgesti, kui ülesannete kohta küsimusi tekib või mõne huvitava lahenduse leiate. Igasugune tagasiside on väga oodatud!

7 kommentaari:

Kell 17. september 2014, kell 12:47, Anonymous Matemaatika s6ber ütles ...

1. Siin polnud esialgu selge kas parem on alustada konstruktsioonist (mis j2reldub sellest kuidas punktid/sirged paika pannakse) v6i eesm2rgist (mida oleks tarvis n2idata v2ite paikapidavuseks). M6lemad t88tavad l6puks :)

2. Kui Igor Holtsi uskuda, siis seda tuletust olevat Eukleides Pythagorase eest kiivalt saladuses hoidnud kuni viimane suri, ning seej2rel uhkelt k6igile n2idanud.

3. Seda on tore m6elda - miks mittepuutujatele v2ide ei peaks kehtima, kas on puutuja, millel see kindlasti kehtib, ning miks puutepunkti liigutades kehtivus ei muutu.

 
Kell 22. september 2014, kell 10:35, Blogger Sõber Matemaatik ütles ...

Lahendused / vihjed:

1. Kaare pikkust mõõdab temale toetuv kesknurk, seega piisab näidata, et mõlemale kaarele toetuvad kesknurgad on võrdsed. Olgu O ringi keskpunkt. Siis, tõmmates raadiused punktidesse P ja Q saame kaks väikest kolmnurka, mis asuvad suure kolmnurga POQ sees. Kuna POQ on võrdhaarne, siis on kaks väikest kolmnurka sarnased.

2. Kolmnurk ABC jaotub kaheks väikseks kolmnurgaks AC'C ja CC'B. Nurkadega mängides saame, et need kolmnurgad on sarnased. Sarnaste kolmnurkade külgede suhted on samad, seega AC' : CC' = C'C : C'B = CA : BC, millest tulebki soovitud seos.

3. Suvalisest punktist mingile ringjoonele tõmmatud puutujate pikkused on samad. Seega KA = KL ning MB = ML.
Suvalisest punktist mingile ringjoonele tõmmatud puutuja ja puutepunktist tõmmatud ringi keskpunkti läbiv sirge ristuvad. Olgu O ringi keskpunkt. Seega OL ja KM on risti. Saame, et KOM on täisnurkne kolmnurk ja L on punkti O projektsioon küljele KM. Nüüd jääb vaid kasutada ülesande 2 tulemust.

 
Kell 22. september 2014, kell 15:09, Anonymous Anonüümne ütles ...

Esimeses ülesandes, kui D on kaare keskpunkt, siis on kolmnurgad POD ja QOD vist lausa võrdsed?
Ja kas keegi teab, kuidas seda, et puutuja ja puutepunktist tõmmatud raadius ristuvad, üldse tõestatakse?

 
Kell 22. september 2014, kell 22:33, Anonymous Matemaatika s6ber ütles ...

Ei tea ristumise kohta. Tundub keeruline, v6i on kena geomeetriline viis seda n2idata?

 
Kell 23. september 2014, kell 13:56, Blogger Sõber Matemaatik ütles ...

Jah, eks "teada-tuntud" faktidega arutledes tuleb natuke kokku leppida, et mida eeldada tohib. ;)

Sel korral on siiski üsna puhas geomeetriline pilt olemas. Tuleb teha joonis ja märgata, et kui raadius ei ristuks puutujaga, siis oleks ringjoone keskpunktist puutujale tõmmatud ristlõigu pikkus väiksem kui raadius. See on aga absurdne, sest kõik teised punktid puutujal peale puutepunkti on rangelt kaugemal kui raadius.

 
Kell 24. september 2014, kell 14:23, Anonymous Matemaatika s6ber ütles ...

Mina m6tlesin symmeetriale. Vaatame yhte raadiust ja selle otspunkti puutujat. Nyyd peegeldame k6ike raadiuse poolt m22ratud sirge suhtes, puutuja j22b puutuma. Kuna puutuja on yhene (j2lle, kas v6ib eeldada?), siis see ei muutu, mis t2hendab et ta on raadiusega risti.

 
Kell 25. september 2014, kell 22:48, Blogger Sõber Matemaatik ütles ...

Väga kena!
Kui on olümpiaad, ikka võib eeldada. Aga kui sa enda jaoks lahendad, siis selline küsimus annab üldiselt märku, et see tuleks tõestada. Ehk siis küsimus, miks saab igast ringjoone punktist ainult ühe puutuja tõmmata?

 

Postita kommentaar

Tellimine: Postituse kommentaarid [Atom]

<< Avaleht