Tere, sügis!
Tere!
Ka see aasta tahame pakkuda matemaatilist lõbustust ja proovime jälle pisut teisiti. Paneme seekord ajaveebi lihtsalt erinevaid ülesandeid, vahel ühekaupa, vahel mitmekaupa. Umbes korra nädalas. Ja nii nädala möödudes lisame ka lahendused. Üritame pakkuda erineva raskustaseme ja sisuga ülesandeid, enamik tuleb küll olümpiaadimaitsega, aga vahel on ka niisama mõtisklemist.
Tore oleks, kui kaasa lööks ka lugeja - ütle meile kommentaarides, kas ülesanded tunduvad lõbusad, lihtsad või liiga rasked ja nii edasi. Ja muidugi kui on toredaid ülesandeid, kirjuta meile ratsionaal@gmail.com
Täna lähevad üles kolm lihtsamat ülesannet 1945. aasta Moskva olümpiaadilt. Tore selle olümpiaadi juures on asjaolu, et žürii esimeheks oli tookord I.M Gelfand. Tegemist on väga kuulsa ja mõjusa matemaatikuga, kelle uurimishuvid ei piirdunud sugugi ainult matemaatikaga - ta on panustanud ka füüsikasse, bioloogiasse ja isegi meditsiinivaldkonda. Lisaks oli ta suure südamega õpetamise ja juhendamise juures.
Ülesanded:
1. Olgu n positiive täisarv. Tõesta, et
\[\frac{1}{n} + \frac{1}{n+1}+...\frac{1}{2n} > \frac{1}{2}\]
2. Kolmnurgas ABC on tõmmatud tippe ja nende vastaskülgi ühendavad lõigud \(AA_1\), \(BB_1\), \(CC_1\). Kas ja millal saavad nende lõikude keskpunktid asuda ühel sirgel?
3. Leia kõik täisarvulised lahendid võrrandile
\[xy + 3x - 5y = -3\]
Head nuputamist, ära unusta kommenteerida ning vahvat kooliaasta algust!
postitas Sõber Matemaatik @ 12:17
4 kommentaari
4 kommentaari:
Kommenteerida on ikka tore!
Esimene p2ris lihtsa hinnanguga ei tule, sest liikmeid pole n vaid n+1, aga pole hullu.
Teine. See on tore ylesanne, algul tundus et saab ainult koordinaadistikuga, aga tegelikult on ka kena geomeetriline lahendus.
Kolmanda puhul - kuidas avaldisest xy+3x-5y+3 geomeetriliselt m6elda? Kas tegu on tasandiga / joonega / ...? T2isarvuliste kordajatega pole sellest otseslt kasu, aga yldiselt oleks hea intuitsiooni omada.
Autor on selle kommentaari eemaldanud.
Ja nüüd siis lahendusvihjed:
1) Kõige väiksem liige vasakpoolses summas on \(\frac{1}{2n}\). Kokku on liikmeid \(n+1\). Seega on vasak pool suurem kui \(\frac{n+1}{2n} > \frac{1}{2}\).
Kes tahab põnevust lisada, siis proovigu järgmist. Tõesta, et iga positiivse täisarvu \(n\) jaoks
\[\frac{1}{\lfloor1.2n\rfloor} + \frac{1}{\lfloor1.2n\rfloor +1} + ... + \frac{1}{2n} > \frac{1}{2}\]
2) Enamasti on ülesandeks näidata, et kolm punkti asuvad ühel sirgel. Seekord on aga olulisem näidata, et enamasti need punktid ühel sirgel ei asu. Kuidas seda näidata? Üks viis oleks näidata, et kolm punkti on mingi kolmnurga tipud. See seekord ei tööta...aga tegelikult piisab ju ka sellest, et kolm punkti asuvad ühe kolmnurga erinevatel külgedel! Sel juhul asuvad nad ühel sirgel ainult siis, kui vähemalt kaks neist on tipud. See kavalus juba töötab - tuleb leida õige kolmnurk.
3) Üks levinumaid nippe täisarvuliste võrranditega on tegurdamine. Seekord saame võrrandi tegurdada kujule
\[(y+3)(x-5) = -18\]
Teame, et mõlemad tegurid vasemal on täisarvud ja teiseks saame arvu \(-18\) saame kirjutada ainult mõnel viisil täisarvude korrutisena.
Enne räägiti siin geomeetriast: märkame, et kui nüüd vahetaksime muutujaid ja valiksime \(x' = x - 5\) ning \(y' = y+3\), siis saaksime üsna standardse kujuga hüperbooli: \(x'y' = -18\).
2) Mulle meeldis k6igepealt l2bi m6elda, kuhu yldse saavad nende l6ikude keskpunktid maanduda (leida nende "geomeetriline koht"), n2iteks liigutades valitud punkti C1 m88da kylge. Kui oli selge, mida ylesande tingimused t2hendavad, oli ka kysitud seose leidmine lihtne.
Postita kommentaar
Tellimine: Postituse kommentaarid [Atom]
<< Avaleht