teisipäev, 28. oktoober 2014

Sünnipäevad ja arvud

Tere!

Seekord siis sellised ülesanded:

1.  Sünnipäevapeol said kokku \(10\) pidulist, kes omavahel alguses kätt surusid, kuid mitte ilmtingimata kõik kõigiga. Näita, et nende seas leidub kaks, kes surusid kätt samapalju kordi.

2. Sedapuhku eeldame, et sünnipäevapeole tuleb \(6\) inimest. Näita, et nende seas leidub kolm, kes teavad üksteist või kolm, kes ei tea üksteist.

3. Näita, et ei leidu selliseid positiivseid täisarve \(x\), \(y\), \(z\), \(v\), mille korral

\(x^2+y^2=3(z^2+v^2).\)

Kui küsimusi tekib, siis kirjutage kommentaaridesse või meilile ratsionaal ät gmail punkt com.

Jõudu lahendamisel!

1 kommentaari:

Kell 4. november 2014 14:44, Blogger Sõber Matemaatik ütles ...

Lahendusviiteid:

1) Kui kohe head ideed ei tule, tasub proovida väiksemahulise sünnipäevqaga, kui on vaid 2,3,4 inimest. Kui mitu korda võib keegi kätt suruda minimaalselt, kui mitu korda maksimaalselt?

2) Kuigi arutleda saab ka lihtsalt tuttavate ja võõrastega, on toredam teha jooniseid. Joonista iga külalise kohta paberile punkt ning tõmba kahe punkti vahele sinine lõik, kui neile vastavad külalised on sõbrad ning punane, kui nad veel ei tunne. Nüüd on ülesanne näidata, et leidub kas punane või sinine kolmnurk! Ilusasti paistab välja näiteks ülesandes antud sümmeetria. Lahendamise esimene samm on järgmine - vaata ühte punkti, temast lähtub kokku viis lõiku, vähemalt kolm neist on ühte värvi...

Lisaülesanne: näita, et väide ei kehti 5 inimese korral!

3) Ilmselt tuleb siin uurida kolmega jaguvust...Kuna võrrandi parem pool jagub kolmega, siis peab jaguma ka vasak pool. Näita, et \(x^2 + y^2 \) jagub kolmega parajasti siis kui nii x kui y jaguvad kolmega. Asenda x = 3x' ja y = 3y'. Mida märkad, kuidas järeldad tulemuse?

Lisaülesanne: leia mõni lahend positiivsetes täisarvudes võrrandile
\[x^2 + y^2 + z^2 = 3(w^2 + v^2 + u^2)\]

 

Postita kommentaar

Tellimine: Postituse kommentaarid [Atom]

<< Avaleht