pühapäev, 21. detsember 2014

Head jõuluaega!


Jõuludeks anname mõtlemiseks ka kaks ülesannet:

1. Olgu \(a, b, c\) ja \(d\) positiivsed täisarvud, mille korral \(ab=cd\). Tõesta, et \(a^2+b^2+c^2+d^2\) ei ole algarv.

2. Olgu tahvlile kirjutatud täisarvud \(a, b, c, d\), mis ei ole kõik omavahel võrdsed. Igal sammul kustutatakse kõik arvud ja asemele kirjutatakse arvud \(a-b, b-c, c-d, d-a\). Tõesta, et pärast mingit sammu on vähemalt üks arv suurem kui \(2014\).

Olgu igaks juhuks öeldud, et teine ülesanne on üsna keeruline, aga ärge laske sellest ennast häirida. Proovida tasub kindlasti! Edu!

Soovime kõigile toredat jõuluaega!

3 kommentaari:

Kell 30. detsember 2014 12:28, Blogger Sõber Matemaatik ütles ...

Lahendusvihjeid:

1. Olgu \(x\) ja \(y\) sellised ühistegurita positiivsed täisarvud, mille korral \(\frac{a}{c}=\frac{d}{b}=\frac{x}{y}\). Siis leiduvad positiivsed täisarvud \(u\) ja \(v\), mille korral \(a=ux\), \(c=uy\), \(d=vx\) ja \(b=vy\). Saame, et \(a^2+b^2+c^2+d^2=(u^2+v^2)(x^2+y^2)\).

2) Siin vaatleme ka suurust \(a^2+b^2+c^2+d^2\). Tõestuse idee on näidata, et see suurus läheb igal sammul vähemalt \(2\) korda suuremaks. Anname huvilistele veidi aega, et mõelda, kuidas seda tõestada. Edasi on juba lihtne: alguses on see summa vähemalt \(1\). Pärast teist sammu vähemalt \(2\) ja nii edasi. Tasub veel vaid märkida, et arvude summa on alates teisest sammust \(0\) (mis ütleb mh, et kui meil on suuri negatiivseid arve, siis on meil ka piisavalt suuri positiivseid arve). Tuleme selle lahenduse juurde veidi hiljem tagasi, aga varsti juba uued ülesanded.

Head vana aasta lõppu!

 
Kell 2. jaanuar 2015 13:52, Anonymous Uudo ütles ...

Esimese ülesande lahendus paistab ehk esmapilgul liiga trikikas.
Aga selleni võib siiski jõuda ka lihtsalt mängides. Proovime alustuseks lihtsalt d = 1.
Siis on ülesande tingimus c = ab ning näeme, et avaldist saab tegurdada:
\[1 + c^2 + a^2 + b^2 = (1+a^2)(1+b^2)\]

Edasi tekib kindlasti mõte, et midagi sarnast peaks töötama ka üldjuhul - ja tõesti, tuleb lihtsalt kavalalt läbi korrutada!

 
Kell 3. jaanuar 2015 18:30, Anonymous Rummo ütles ...

Teisel ülesandel leidub lihtne lahendus ka. On lihtne näha, et iga sammuga suureneb summa (a-b+c-d) täpselt kaks korda.
Kui a-b+c-d /= 0, siis sellest järeldub ülesande väide.
Juht a-b+c-d = 0 jääb lugejale ülesandeks.

 

Postita kommentaar

Tellimine: Postituse kommentaarid [Atom]

<< Avaleht