Arvuteooria
Veel veidi advendiharjutusi. Sedapuhku arvuteoreetilisi:
1. Tõesta, et kui n on nullist erinev täisarv, siis √2n ei ole täisarv.
2. Tõesta, et kui arvude 1,2,3,4,...,2014 seast valida mistahes 1013 arvu, siis nende valitud arvude seas leidub kaks sellist arvu a ja b nii, et a jagub b-ga või b jagub a-ga.
postitas Sõber Matemaatik @ 19:23
2 kommentaari
2 kommentaari:
Lahendusvihjeks:
1. Vihjeks soovitame vaadata selle blogi kõige esimest postitust "Algarvude paljususest ja paiknemisest". Hea on kasutada aritmeetika põhiteoreemi. Nimelt, kui esitada naturaalarv erinevate algarvude astmete korrutisena, siis on lihtne näha, et naturaalarvu ruudu korral on vastavad astmed paarisarvud. Kui oletada väitevastaselt, et √2n=m, mingi täisarvu korral, siis 2=m2n2. Seega arvu 2 esituses peaksid kõik algarvude astendajad olema paarisarvud, aga tegelikult pole see ju nii.
2. Paneme tähele, et iga arvu sellest hulgast saab esitada kujul 2m∗d, kus m on mittenegatiivne täisarv ja d on paaritu naturaalarv (see on vaadeldava arvu suurim paarituarvuline jagaja). Antud juhul on arvu d võimalikeks väärtusteks 1,3,5,...,2013, seega 1007 erinevat väärtust. Kui hulgast 1,2,3,4,...,2014 valida 1008 või rohkem arvu, siis Dirichlet' printsiibi kohaselt leidub nende arvude seas kaks, mille suurimad paarituarvulised jagajad langevad kokku. Järelikult üks arv jagab teist.
Kas keegi esimest kuidagi kaunimalt ei oska? Nagu yks inglise matermaatikaprofessor kunagi ytles, "Dzhentelmenid ei kasuta kunagi baase", v6iks siin parafraseerida, et ilusad lahendused ei lasku algarvude astmete korrutisse kui just t6esti tarvis ei ole.
Postita kommentaar
Tellimine: Postituse kommentaarid [Atom]
<< Avaleht