teisipäev, 9. detsember 2014

Arvuteooria

Veel veidi advendiharjutusi. Sedapuhku arvuteoreetilisi:

1. Tõesta, et kui \(n\) on nullist erinev täisarv, siis \(\sqrt{2}n\) ei ole täisarv.

2. Tõesta, et kui arvude \(1,2,3,4,...,2014\) seast valida mistahes \(1013\) arvu, siis nende valitud arvude seas leidub kaks sellist arvu \(a\) ja \(b\) nii, et \(a\) jagub \(b\)-ga või \(b\) jagub \(a\)-ga.

2 kommentaari:

Kell 18. detsember 2014 10:13, Blogger Sõber Matemaatik ütles ...

Lahendusvihjeks:

1. Vihjeks soovitame vaadata selle blogi kõige esimest postitust "Algarvude paljususest ja paiknemisest". Hea on kasutada aritmeetika põhiteoreemi. Nimelt, kui esitada naturaalarv erinevate algarvude astmete korrutisena, siis on lihtne näha, et naturaalarvu ruudu korral on vastavad astmed paarisarvud. Kui oletada väitevastaselt, et \(\sqrt{2}n=m\), mingi täisarvu korral, siis \(2=\frac{m^2}{n^2}\). Seega arvu \(2\) esituses peaksid kõik algarvude astendajad olema paarisarvud, aga tegelikult pole see ju nii.

2. Paneme tähele, et iga arvu sellest hulgast saab esitada kujul \(2^m*d\), kus \(m\) on mittenegatiivne täisarv ja \(d\) on paaritu naturaalarv (see on vaadeldava arvu suurim paarituarvuline jagaja). Antud juhul on arvu \(d\) võimalikeks väärtusteks \(1,3,5,...,2013\), seega \(1007\) erinevat väärtust. Kui hulgast \(1,2,3,4,...,2014\) valida \(1008\) või rohkem arvu, siis Dirichlet' printsiibi kohaselt leidub nende arvude seas kaks, mille suurimad paarituarvulised jagajad langevad kokku. Järelikult üks arv jagab teist.

 
Kell 18. detsember 2014 16:05, Anonymous Matemaatika s6ber ütles ...

Kas keegi esimest kuidagi kaunimalt ei oska? Nagu yks inglise matermaatikaprofessor kunagi ytles, "Dzhentelmenid ei kasuta kunagi baase", v6iks siin parafraseerida, et ilusad lahendused ei lasku algarvude astmete korrutisse kui just t6esti tarvis ei ole.

 

Postita kommentaar

Tellimine: Postituse kommentaarid [Atom]

<< Avaleht