Head jõuluaega!

Jõuludeks anname mõtlemiseks ka kaks ülesannet:

1. Olgu \(a, b, c\) ja \(d\) positiivsed täisarvud, mille korral \(ab=cd\). Tõesta, et \(a^2+b^2+c^2+d^2\) ei ole algarv.

2. Olgu tahvlile kirjutatud täisarvud \(a, b, c, d\), mis ei ole kõik omavahel võrdsed. Igal sammul kustutatakse kõik arvud ja asemele kirjutatakse arvud \(a-b, b-c, c-d, d-a\). Tõesta, et pärast mingit sammu on vähemalt üks arv suurem kui \(2014\).

Olgu igaks juhuks öeldud, et teine ülesanne on üsna keeruline, aga ärge laske sellest ennast häirida. Proovida tasub kindlasti! Edu!

Soovime kõigile toredat jõuluaega!

Arvuteooria

Veel veidi advendiharjutusi. Sedapuhku arvuteoreetilisi:

1. Tõesta, et kui \(n\) on nullist erinev täisarv, siis \(\sqrt{2}n\) ei ole täisarv.

2. Tõesta, et kui arvude \(1,2,3,4,...,2014\) seast valida mistahes \(1013\) arvu, siis nende valitud arvude seas leidub kaks sellist arvu \(a\) ja \(b\) nii, et \(a\) jagub \(b\)-ga või \(b\) jagub \(a\)-ga.