Kolmapäev, 26. november 2014

Raamatusoovitus

Tere!

Juba hakkab vaikselt hirmutama jõuluaeg, saab küsida ja teha kingitusi. Meie soovitame raamatut nimega "The mathematical olympiad handbook", autoriks A. Gardiner. Tegemist on toreda olümpiaadiraamatuga, kuna ülesandeid saab mingis mõttes ühes autoriga läbi lahendada - ta arutab, miks ta just nii lahendab nagu lahendab, ning jätab siia-sinna lünki ka lahendajale täitmiseks. Nii on ta eriti tore tükk algajamatele.

Ülesanded raamatus pärinevad Briti matemaatikaolümpiaadide esimeselt kolmekümne kahelt aastalt - 1965 - 1996 ning ülesannetele eelneb ka väikene kokkuvõtte matemaatilistest nippidest-trikkidest.

Valime sealt kaks juhuslikku ülesannet:

1. (BMO 1985) Olgu \(a,b,c\) kolm reaalarvu, mis asuvad nulli ja ühe vahel. Tõesta, et vähemalt üks avaldistest \(a(1-b)\), \(b(1-c)\) ning \(c(1-a)\) ei ole suurem kui \(\frac{1}{4}\).

2. (BMO 1996) Funktsioon \(f\) on defineeritud positiivsetel täisarvudel ning rahuldab järgmisi tingimusi:

A) \(f(1) = 1996 \)

B) iga \(n >1\) korral \(f(1) + f(2) + .. + f(n) = n^2f(n)\).

Leia \(f(1996)\) täpne väärtus.

Laupäev, 15. november 2014

Veidi geomeetriat ja kombinatoorikat

Tere taaskord!

Seekord siis sellised ülesanded. Vihjeks ütleme, et tihti võib lahendus olla lihtsam, kui esmapilgul tundub, seega proovige julgelt!

1. Tenniseturniiril osaleb \(2014\) tennisisti. Igas voorus loositakse võistlejad paaridesse ning iga paari võitja saab edasi järgmisesse ringi (kui enne mingit vooru on paaritu arv tennisiste konkurentsi jäänud, siis üks neist saab vaba päeva ja pääseb automaatselt järgmisesse ringi). Siis toimub allesjäänud võistlejatega sama protseduur: võistlejad loositakse paaridesse ja iga paari võitja pääseb edasi, kaotajate jaoks saab turniir läbi. Sedasi jätkatakse, kuni selgub võtja. Kui palju mänge toimub kokku?

2. Tasandil on antud \(2014\) punkti nii, et kui valida neist mistahes \(3\), siis nende kolme punkti poolt moodustatud kolmnurga pindala on mitte suurem kui \(1\). Tõesta, et sel tasandil leidub kolmnurk, mille pindala on mitte suurem kui \(4\) ja kõik need \(2014\) punkti asuvad selle kolmnurga sees.

Nagu ikka, kui küsimusi tekib, siis kirjutage kommentaaridesse või meilile ratsionaal ät gmail punkt com.

Jõudu lahendamisel!

Neljapäev, 6. november 2014

Geogebra

Seekord teeme reklaami!

Geomeetria juures on vähemalt alguses kõige olulisem teha ilus joonis. Nimelt on enamasti kõik vajalik enamasti juba joonisel kirjas ning kui ka pole, siis kõige lihtsam pole mitte arvutada, vaid juurde joonistada, siduda elemente geomeetriliselt.

Ja muidugi ennekõike on ilus joonis oluline, sest teda on ilus vaadata!

Aga vahel ei viisi ise joonistada...Mis siis teha?

Abiks on (reklaam reklaam) programm Geogebra, millele tuleb lihtsalt öelda - vaja ringi, kolmnurka, nende lõikepunkti ja ta paneb kõik täpselt paika. Mängige, tore on näha, kuidas alguses mitte-seotud punktid hakkavad järsku omavahel suhtlema.

Ilmselt saab Geogebrait isegi nutitelefonile laadida.

Mõned esimesed ilusad pildid, mida proovida:

1) Näita, et kolmnurga ABC ümberringjoone keskpunkt, kõrguste lõikepunkt ning mediaanide lõikepunkt asuvad ühel sirgel.

2 Näita, et kolmnurga kõrguste alusd ning külgede keskpunktid asuvad kõik ühel ringjoonel.

Mida veel jooniselt leiate?