Head jõuluaega!

Jõuludeks anname mõtlemiseks ka kaks ülesannet:

1. Olgu $a, b, c$ ja $d$ positiivsed täisarvud, mille korral $ab=cd$. Tõesta, et $a^2+b^2+c^2+d^2$ ei ole algarv.

2. Olgu tahvlile kirjutatud täisarvud $a, b, c, d$, mis ei ole kõik omavahel võrdsed. Igal sammul kustutatakse kõik arvud ja asemele kirjutatakse arvud $a-b, b-c, c-d, d-a$. Tõesta, et pärast mingit sammu on vähemalt üks arv suurem kui $2014$.

Olgu igaks juhuks öeldud, et teine ülesanne on üsna keeruline, aga ärge laske sellest ennast häirida. Proovida tasub kindlasti! Edu!

Soovime kõigile toredat jõuluaega!

Arvuteooria

Veel veidi advendiharjutusi. Sedapuhku arvuteoreetilisi:

1. Tõesta, et kui $n$ on nullist erinev täisarv, siis $\sqrt{2}n$ ei ole täisarv.

2. Tõesta, et kui arvude $1,2,3,4,...,2014$ seast valida mistahes $1013$ arvu, siis nende valitud arvude seas leidub kaks sellist arvu $a$ ja $b$ nii, et $a$ jagub $b$-ga või $b$ jagub $a$-ga.