tag:blogger.com,1999:blog-1970570542028884693.post3132118935456421941..comments2022-12-11T15:50:58.303+02:00Comments on [Ir]ratsionaal: Külalispostitus 2: mõtisklused ühest lahtise võistluse ülesandestSõber Matemaatikhttp://www.blogger.com/profile/03702276142107388793noreply@blogger.comBlogger1125tag:blogger.com,1999:blog-1970570542028884693.post-11346244630692058572015-01-14T13:24:42.042+02:002015-01-14T13:24:42.042+02:00Lahendus.
Teame, et võrrand kehtib iga \(x\) ja \(...Lahendus.<br />Teame, et võrrand kehtib iga \(x\) ja \(y\) korral, seega kehtib ta ka juhul \(x = y = 0\). Saame<br />\[<br />f(0) = f(0)^2<br />\]<br />Kuna f(0) on lihtsalt arv, siis näeme, et tema suhtes on siin ruutvõrrand.<br />Seega kas \(f(0) = 0\) või \(f(0) = 1\).<br /><br />Valides algses võrrandis \(x = z\) \(y = 0\), saame<br />\[<br />f(z^2) = f(z)^2 - 2z f(0)<br />\]<br />Saadud võrrand kehtib iga reaalarvu \(z\) korral.<br /><br />Valides algses võrrandis \(x = 0\) \(y = z\), saame võrrandi (A)<br />\[<br />f(z^2) = f(0)^2 + z^2<br />\]<br />See võrrand kehtib ka iga reaalarvu \(z\) korral.<br /><br />Pannes kaks viimast võrrandit kokku, saame<br />\[<br />f(z)^2 - 2z f(0) = f(0)^2 + z^2<br />\]<br />millest järeldub, et<br />\[<br />f(z)^2 = z^2 + 2z f(0) + f(0)^2 = (z + f(0))^2<br />\]<br />See võrrand kehtib iga reaalarvu \(z\) korral.<br /><br />Kuna see võrrand kehtib tõesti iga reaalarvu korral ning \(x\) on reaalarv,<br />siis see võrrand kehtib kehtib ka juhul \(z = x\), kutsume seda võrrandiks (B)<br />\[<br />f(x)^2 = (x + f(0))^2<br />\]<br />Analoogselt võrrand (A) kehtib juhul z = x-y, kutsume seda võrrandiks (C)<br />\[<br />f((x-y)^2) = f(0)^2 + (x-y)^2<br />\]<br /><br />Teisendame algse võrrandi kujule<br />\[<br />2x f(y) = f(x)^2 - f((x-y)^2) + y^2<br />\]<br />Nüüd rakendame võrrandeid (B) ja (C)<br />\[<br />2x f(y) = (x + f(0))^2 - f(0)^2 - (x-y)^2 + y^2<br />\]<br />\[<br />2x f(y) = 2x f(0) + 2xy = 2x (y + f(0))<br />\]<br />See võrrand kehtib iga reaalarvu paari (x,y) korral.<br />Valime \(x = \frac12\). Saame<br />f(y) = y + f(0).<br /><br />Kuna kas \(f(0) = 0\) või \(f(0) = 1\), siis saime kaks lahendust:<br />\(f(x) = x\) ja \(f(x) = x + 1\).<br />Kontroll näitab, et mõlemad sobivad.Sõber Matemaatikhttps://www.blogger.com/profile/03702276142107388793noreply@blogger.com